\chapter{1878年,希尔球半径公式推导与天体力学应用} 
\includegraphics[scale=0.5]{HillSphere}
\section{引言} 希尔球半径计算的概念首次发表于1878年，由天文学家G.W. Hill提出
1。该理论描述了天体引力场中物体所能容纳的最大稳定引力范围，并在后续发展中成为天文动力学的重要基础。希尔球（Hill sphere）作为天体力学中的重要理论模型，用于描述小天体在其引力主导范围内的运动稳定性。本文基于限制性三体问题，系统推导希尔球半径的数学表达式，并探讨其在天体运动分析中的实际应用价值。

\section{理论基础与模型建立} 
\subsection{限制性三体问题假设} 考虑太阳-地球-月球系统，假设： \begin{itemize} \item 太阳（$M$）与地球（$m$）绕共同质心作圆周运动，日地距离为a，地月距离为r \item 月球质量可忽略，其运动方程为： \begin{equation} \ddot{x} - 2\omega\dot{y} = \frac{\partial U}{\partial x}, \quad \ddot{y} + 2\omega\dot{x} = \frac{\partial U}{\partial y} \end{equation} 其中$U$为有效势函数，$\omega$为系统旋转角速度。 \end{itemize}

\subsection{拉格朗日点分析} 希尔球边界由L1点确定，满足引力平衡条件： \begin{equation} \frac{GM}{(a-r)^2} = \frac{Gm}{r^2} + \frac{GM}{a^2} - \frac{r(M+m)}{a^3} \end{equation}

\section{希尔球半径公式推导} 
\subsection{旋转坐标系建立} 以地球为中心构建旋转坐标系，有效势函数为： \begin{equation} U = -\frac{GM}{|a-r|} - \frac{Gm}{r} - \frac{1}{2}\omega^2 (a-r)^2 \end{equation}

\subsection{泰勒展开与近似处理} 对太阳引力项进行泰勒展开： \begin{equation} \frac{1}{(a-r)^2} \approx \frac{1}{a^2} \left(1 + \frac{2r}{a}\right) \end{equation}

\subsection{最终公式} 当$m \ll M$时，得到希尔球半径公式： \begin{equation} r_h \approx a \left( \frac{m}{3M} \right)^{1/3} \end{equation}

\subsection{离心率修正} 考虑轨道离心率$e$时的修正公式： \begin{equation} r_h \approx a (1-e) \left( \frac{m}{3M} \right)^{1/3} \end{equation}

\subsection{质量比影响} 希尔球半径与质量比的关系： \begin{equation} r_h \propto \left( \frac{m}{M} \right)^{1/3} \end{equation}

\subsection{地月系统计算} 地球希尔球半径计算： \begin{equation} r_h \approx 1.496 \times 10^8 \times \left( \frac{5.97 \times 10^{24}}{3 \times 1.99 \times 10^{30}} \right)^{1/3} \approx 1.5 \times 10^6 \text{ km} \end{equation}

\subsection{结论} 希尔球理论为分析天体引力主导范围提供了有效工具，其推导过程展示了限制性三体问题在天体力学中的典型应用。实际应用中需考虑离心率等修正因素，该理论在航天轨道设计和行星系统演化研究中具有重要价值。
